Прямого запрета в законодательстве на заключение государственными организациями ГПД с физическими лицами нет. Отклонение от утвержденного штатного расписания, в вашем случае заключение ГПД с физическим лицом и оплата его услуг за счет бюджетных средств, может послужить основанием для применения санкций со стороны контролирующих органов.

В вашем случае очевиден вариант заключения договора возмездного оказания услуг.

Работодатель обязан вести трудовые книжки на всех работников, проработавших на предприятии свыше пяти дней, за исключением совместителей. В своем обращении Вы указали, что это работа не является для работника его основной работой. Тогда речь идет о совместителях или внештатных работников, надо определиться.

В трудовую книжку вносятся сведения о работе только тех работников с кем заключены соответствующие трудовые договора, а не гражданско-правовые.

Нет, нельзя.

Cчитаем, что в представленной вами ситуации предприятие может заключать ГПД с гражданами, не имеющими постоянной прописки или учета по месту пребывания в городе Ташкенте и Ташкентской области.

Рекомендую Вам заключить срочный трудовой договор (статья 76 ТК) или же гражданско-правовой договор подряда (статья 631 ГК) по вашему усмотрению.

Вы должны быть включены в списочный состав работников. Однако, не смотря на это указанные вами выплаты стимулирующего характера  производиться не будут. Условия гражданско-правового договора устанавливаются соглашением сторон и  регулируются Гражданским кодексом, а выплаты стимулирующего характера регулируются Трудовым законодательством. Нормы трудового законодательства распространяются  на работников, заключивших с предприятием трудовые договора.Далее

Все зависит от условий гражданско-правового договора. В нем должно быть указано, какие виды услуг обязуется оказывать привлеченный юрист.