Доверенность может подписать сам председатель АО, поскольку является руководителем, или председатель наблюдательного совета. (ст.138 ГК РУз)

Да, доверенность на управление служебной машиной необходима.

Директор (председатель правления) АО без доверенности действует от имени общества, в том числе представляет его интересы, совершает сделки и т.д. (ст.79 Закона «Об АО»). Вместе с тем, для управления служебным транспортом доверенность на управление необходима (п.7 Прил.1 к ПКМ №370 от 24.12.2015 г.).

Так как доверенность от имени юридического лица выдается за подписью руководителя (ст.138 ГК), то председатель АО должен подписать (от имени АО) доверенность на управление служебной машиной в отношении самого себя.