Заключать новый трудовой договор нет необходимости.

Касаначиларнинг ишлаш тартиби Касаначилик тўғрисидаги низомга мувофиқ (ВМнинг 11.01.2006 й. 4-со Далее

Продолжить трудовые отношения с таким работником возможно.

В связи с продлением подтверждения на работу можно изменить сроки трудового договора.

Возможно внести изменения в трудовой договора или расторгнуть текущий и заключить новый.

Иш ҳақи сақланмаган ҳолда бериладиган таътил фақат ходимнинг аризасига (хоҳишига) кўра берилади (МК 150-м.).

Нет, не может. 

Перевод работника на другую должность допустим. Он оформляется приказом работодателя на основании дополнительного соглашения к трудовому договору.

В вашем случае, когда уже работающего в вашей компании работника вы планируете направить на обучение, в соответствии с частью третьей статьи 75 ТК трудовой договор, заключенный на неопределенный срок, может быть перезаключен с согласия работника с обязательством сторон о выплате неустойки (ваших расходов на обучение работника) при досрочном его прекращении до истечения срока действия договора.