Не обязательно.

Да, верно.

Для того, чтобы изменить режим работы сотрудника (не меняя его функции) не нужно изменять наименование его должности.

Если работник предприятия (организации) поступил в магистратуру  и работник успевает выполнять свои должностные обязанности, как и прежде, переводить его на работу по совместительству не нужно.

Данный вопрос, по сути, необходимо разделить на две части и рассматривать отдельно друг от друга.

При предоставлении документа о продлении срока пребывания работника в городе Ташкенте, по соглашению между работодателем  и работником трудовой договор может быть изменен на новый срок

При оформлении основного сотрудника в совместители, работнику и работодателю, прежде всего, необходимо  договориться между собой об изменении условий труда  работника.

Нет, не нужно.